Окончил Хоровое училище им. А. В. Свешникова, а также вокальный и дирижёрско-хоровой факультеты Академии хорового искусства им. В.С. Попова.

В июле 2013 года состоялся дебют Игоря Морозова на сцене Большого театра России. Затем последовали выступления на сценах таких театров и концертных площадках, как La Monnaie De Munt, Московский театр «Новая опера» им. Е.В. Колобова, Theatro Municipal de São Paulo, Hrvatsko narodno kazalište, Het Concertgebouw Amsterdam, Rahvusooper Estonia, Municipal de Santiago, Opéra de Nice, Красноярский театр оперы и балета им. Д.А. Хворостовского, Deutsche Oper am Rhein, Gran Teatre del Liceu, Theater an der Wien - Das Opernhaus, Fondazione Teatro Petruzzelli, Концертный зал им. П.И. Чайковского, Большой зал консерватории.

С 2014 года Игорь Морозов - солист Московского музыкального театра «Геликон-опера». На сцене театра исполнил более 15 ролей, среди которых Ленский («Евгений Онегин» П.И. Чайковского, Садко («Садко» Н.А. Римского-Корсакова), Лыков («Царская невеста» Н.А. Римского-Корсакова), Шуйский («Борис Годунов» М.П. Мусоргского), Андрей («Мазепа» П.И. Чайковского), Водемон («Иоланта» П.И. Чайковского), Беппе («Паяцы» Р. Леонкавалло), Тамино («Волшебная флейта» В.А. Моцарта), Альфред («Травиата» Дж. Верди) и другие. 

Игорь Морозов – лауреат общероссийского конкурса «Молодые дарования России» (Москва, 2010, 2014), лауреат международных конкурсов, обладатель премии Елены Образцовой «За яркое начало в искусстве» (2014). Также стал финалистом в номинации «Вокалист года» Российской национальной музыкальной премии 2016 года.

С певцом работали такие выдающиеся дирижеры, как М. Плетнев, А. Дзедда, В. Юровский, А. Ведерников, В. Федосеев, М. Татарников.

Игорь Морозов участвовал в записи сольного аудио диска Дмитрия Хворостовского, вместе с великим певцом в 2015 году выступил в концертном исполнении оперы А. Рубинштейна «Демон» в Московской филармонии. Также принимал участие в записи спектаклей для фонда телеканала «Россия-К»: «Садко» Н.А. Римского-Корсакова, «Евгений Онегин» и «Мазепа» П.И. Чайковского, «Леди Макбет Мценского уезда» Д.Д. Шостаковича.

Ведет активную концертную деятельность, также вместе с театром «Геликон-опера» выезжает на гастроли по всему миру.