Обучался в Санкт-Петербургской государственной консерватории им. Н.А. Римского-Корсакова и консерватории Лозанны (Швейцария). Его учителями были Л. Иващенко, В. Овчарек, П. Попов и П. Амояль. Также участвовал в мастер-классах Б. Кушнира, Л. Исакадзе, К. Кашкашьян и многих других.

Является победителем Международного конкурса имени королевы Елизаветы (Бельгия) 2012 года. Также стал победителем конкурсов скрипачей имени Б. Бриттена в Лондоне и имени А. Марто в Германии и завоевал призы на более чем двадцати различных международных конкурсах, включая конкурсы в Индианаполисе (США), Сендае (Япония), Сеуле (Южная Корея), конкурсы UNISA (ЮАР), Д. Ойстраха, Л. Исакадзе, Н. Паганини (Россия) и многих других.

А. Баранов является первой скрипкой струнного квартета имени Давида Ойстраха, созданного им вместе с ведущими молодыми солистами России в 2012 году.

Концертировал на всемирно известных сценах, таких как Концертгебау в Амстердаме, Большой зал Моцартеума, Circle Theatre в Пекине, Кадоган Холл в Лондоне, Bozar в Брюсселе, залы Санкт-Петербургской филармонии, зал им. Чайковского в Москве, Концертгебау в Лейпциге и Концертхаус в Берлине.

Выступает со многими выдающимися музыкантами, в том числе с М. Аргерих, П. Амоялем, Л. Исакадзе, Ю. Рахлиным, Э. Вирсаладзе, Б. Андриановым.

В 2009 году, в возрасте всего лишь 23 лет, А. Баранов был назначен ассистентом профессора П. Амояля в Лозанской консерватории. С этого времени начал преподавать и на мастер-классах (в Чикаго, Бангкоке, Риге, Вильнюсе, Стокгольме, Москве, Манчестере и других).